Heine–Borel Theorem

释义 Definition

海涅–博雷尔定理：在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 中，一个集合紧（compact）当且仅当它是闭且有界（closed and bounded）的。等价表述之一是：\(\mathbb{R}^n\) 中的紧集满足“任意开覆盖都有有限子覆盖”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈhaɪnə bɔːˈrɛl ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Heine–Borel theorem says that every closed and bounded interval \([a,b]\) is compact.
海涅–博雷尔定理指出：每个闭且有界的区间 \([a,b]\) 都是紧的。

Using the Heine–Borel theorem, we can prove that a continuous function on a closed and bounded set in \(\mathbb{R}^n\) is uniformly continuous.
利用海涅–博雷尔定理，我们可以证明：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，连续函数在闭且有界集合上必一致连续。

词源 Etymology

该定理以两位数学家命名：德国数学家 Eduard Heine（爱德华·海涅） 与法国数学家 Émile Borel（埃米尔·博雷尔）。它源自实分析与拓扑学中对“开覆盖”“有限子覆盖”与“紧性”概念的系统化发展，后来在 \(\mathbb{R}^n\) 中形成了“闭且有界 \(\Leftrightarrow\) 紧”的经典刻画。

相关词 Related Words

• Compactness
• Open Cover
• Finite Subcover
• Closed And Bounded
• Euclidean Space
• Topology
• Real Analysis
• Bolzano–Weierstrass Theorem
• Lebesgue Number Lemma

文献与作品 Notable Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）
• Topology（James R. Munkres）
• Real Mathematical Analysis（Charles C. Pugh）
• Introductory Real Analysis（A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin）
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）